Systeem theorie

Het Levensweb.

Ik start hier een poging om het boek van Fritjof Capra, Het Levensweb, 1994, op hoofdlijnen weer te geven t.b.v. het kunnen situeren van systeem dynamiek, zoals ik dat in de afgelopen 40 jaar heb trachten te ontwikkelen. Met situeren bedoel ik, dat het nu mogelijk en ook noodzakelijk wordt om de context te beschrijven, waarin ik gewerkt heb m.b.t. het vormgeven aan systeem dynamiek. Ik heb namelijk, zonder enig kennis van zaken, nagenoeg op mijn eentje, consequent een spoor gevolgd, die me uiteindelijk via via deed beseffen, dat ik me bezig hield met zoiets als systeem dynamiek en naar bleek niet een kwantitatieve tak, maar een kwalitatieve tak. Kortom als je onbewust van binnen uit hebt gestreefd naar een integrale methode, teneinde kennisintegratie vorm te geven, werd het me vervolgens zoetjes aan duidelijk, dat ik niet de enige was, die zich bezighield met het zoeken naar een integrale wijze van denken.

Met name door het boek van Fritjof werd me pas duidelijk, dat ik mijn zoektocht moest gaan verbinden met andere denkers, die op hun wijze een soort gelijk spoor hebben gevolgd, zij het op zeer onderscheiden wijzen. Maar de teneur was heel duidelijk, hoe dienen we anders te gaan denken en anders wil zeggen, hoe dienen we de tekortkomingen van het ontologische paradigma te boven te komen. Met het boek Cultuur in stroomversnelling, C.A. van Peursen, werd me al duidelijk dat ik zocht naar een wijze van denken, passend in het functionele paradigma. Zo kwam ik ook o.a. de dissertatie van Henrik Leschonski tegen, Der Kristall als expressionistisches Symbol, Berlijn, 2007, die indringend de door van Peursen beschreven paradigmatische omslag naar het functionele paradigma, begin 1900, middels het denken van de Expressionisten, aan het licht bracht. Ik zal dat elders uitwerken om meer zicht te krijgen op een analoge wijze van denken, zoals ik dat onbewust vorm heb gegeven. Maar voor nu beperk ik me eerst tot het werk van Capra.

De titel van zijn boek, Het Levensweb, wordt nader omschreven met als ondertitel, “Levende organismen en systemen: verbluffend nieuw inzicht in de grote samenhang”. Mij gaat het vooral om de twee begrippen systeem en samenhang, dus hoe breng je samenhang systematisch in beeld en wel op een wijze, die onderscheiden kennisgebieden modelmatig coherent en consistent doet verbinden tot een geordend structureel samenhangend patroon? Zie daartoe hetgeen hier op de website op talloze wijzen is uiteengezet. Het begrip levensweb suggereert het netwerk, de verwevenheid van al wat op aarde leeft. Al dat wat leeft, staat deels op zichzelf en deels staat het in een groter verband; deels onafhankelijk en deels afhankelijk. Verbonden in de aardse kringloop van al wat leeft.

De kernvraag parafraserend waarmee Capra op blz 7, in het voorwoord, zijn boek start, luidt: Hoe ontwikkelen zich ingewikkelde structuren uit een willekeurige verzameling van bouwstenen? Wat is stof, wat is leven, wat is bewustzijn, wat is zelf bewustzijn, wat is geest?

Kort samengevat, brengt Capra in zijn boek, Het levensweb, de nieuwe wetenschappelijke inzichten bij elkaar, die streven naar een integrale wetenschappelijk onderbouwde samenhang van het fenomeen van de vier rijken, mineraal, plant, dier en mens, in deze: materie, leven, bewustzijn en geest. Daartoe vult hij zo een 300 bladzijden met zeer behartenswaardige noties, teveel en ook onnodig dat allemaal de revue te laten passeren, daartoe leze men het boek zelf. In onderstaande refereer ik aan de belangrijkste noties, die mij helpen mijn zoektocht naar systeem dynamiek enerzijds te verstaan en anderzijds te situeren.

Middels het ontologische paradigma, hebben onderzoekers zeer wel de fundamentele bouwstenen trachten te achterhalen, op grond waarvan de vier benoemde rijken zouden kunnen functioneren, de vraag is evenwel of dat voldoende is? De bouwstenen betreffen het wat en zeer wel helpt het ook enigszins zicht te krijgen op de andere vragen, zoals het hoe, waarom, waar en wanneer, maar zeer wel niet altijd op het wie? Dat wil zeggen op het wie, het subject, de bron, de oorsprong, de schepper en daarmee het inzicht in de wezenlijke processen die ‘organismen’ hun samenhang geven. Kortom hoe ontstaat überhaupt samenhang? Ontstaat dat alleen uit de mogelijke en noodzakelijke causaal oorzakelijke verbanden? Dat is deels zeer wel aan de orde, maar vormen ze een voldoende grond? Analytisch gezien zijn zeer wel de benodigde bouwstenen opgespoord, maar synthetisch gezien, dient de vraag nog beantwoord te worden, hoe uit het simplexe het complexe kan ontstaan? ‘Wie’ organiseert dat eigenlijk? Betreft dat puur toeval? Om deze vraag te kunnen beantwoorden, gaat Capra in zijn boek op zoek naar ‘diegene’ die van binnen uit samenhang bewerkt, met hetgeen al of niet voorhanden is, steeds op een hoger evolutionair organisatie level.

Volgens Capra, op blz. 8, is er wel degelijk een nieuwe taal ontstaan voor ‘het begrijpen van ingewikkelde hoog geïntegreerde … systemen’. Ik laat het woord levende in deze nog achterwege, aangezien ik graag in deze de vier rijken bijeen wil houden in een samenhangend samen-zijn en samen-worden, waarin alles met alles al of niet is verbonden, dat moet de zoektocht nog uitwijzen.

Capra introduceert hier reeds de door vele eminente onderzoekers gehanteerde nieuwe begrippen, zoals dynamische systeemtheorie, complexiteitstheorie, non-lineaire dynamica, netwerkdynamica, met nieuwe begrippen als fractalen, chaotische aantrekkers, hypercycli, dissipatieve structuren, autopoietische ordeningen, patronen, zelforganiserende netwerken, etc. We zullen de betreffende onderzoekers daar tegenkomen, waar we de betreffende begrippen aan de orde gaan stellen. In de 20e eeuw en met name in de tweede helft ervan zijn cruciale revolutionaire ontdekkingen gedaan; precies in deze periode, ben ik ook op mijn bescheiden wijze een spoor gaan trekken, die uit eindelijk uitmondde in wat ik schoorvoetend ‘systeem dynamiek’ ben gaan noemen.

Capra tracht nu op zijn wijze in het Levensweb een synthese te bewerken, die al die nieuwe ontdekkingen in een samenhangend verband tracht te plaatsen. Feitelijk geeft hij vorm aan een nieuwe manier van kijken, een nieuw paradigma, feitelijk een functioneel paradigma, waarin zowel het kwantitatieve als het kwalitatieve wetenschapsdomein aan de orde dient te komen. Deze paradigma wisseling van ontologie naar functioneel in verbanden denkend, heeft hij beschreven in Het Keerpunt, waarin hij de noodzaak van een systeem benadering al aan de orde stelt, teneinde materie, leven, bewustzijn, cognitie, zelfbewustzijn en geest samenhangend in beeld en tot begrip te brengen. Het betreffen zeer ingewikkelde onderzoeken, die hij voor de leek, zoals ik, heeft trachten te vereenvoudigen. Maar niettemin geeft het mij het besef, dat hetgeen ik onbewust, inzake systeem dynamiek, ben gaan uitwerken zeer wel samenhangt met het hele tijdsfenomeen zoals Capra dat, veel technischer onderbouwd, in beeld brengt.

Vandaar dat ik uitgebreid de belangrijkste noties met dank aan Fritjov, waar mogelijk, integraal heb overgenomen. Daartoe heb ik getracht zijn teksten om te werken tot een samenhangend relaas, zeer wel gebruik makend van hoe hij het inzichtelijk onderbouwd heeft uitgeschreven, dan wel hier en daar summier aangevuld met de eigen noties vanuit mijn onderzoeksproces. Wie beide bronnen, zijn boek en mijn website heeft doorgenomen, zal onmiddellijk de specifieke onderscheiden begrippen bemerken. Ik ben zo vrij geweest, die toe te voegen, daarmee hoop ik, hetgeen Capra aan de orde heeft gesteld, begripsmatig nader te kunnen preciseren. Ik heb overigens geen enkele pretentie het werk van Capra te kunnen overvleugelen, aangezien hij meer dan tien jaar eraan gewerkt heeft, vaak in nauw overleg met de betreffende wetenschappers, waartoe hij zijn dankbetuigingen heeft gericht op blz. 10, 11 en 12.

Notities naar aanleiding van Het Levensweb van Fritjof Capra.

Ordening en structuur vormen het patroon. Blz. 159-163.

Een concept over levende systemen moet consistent en coherent samen hangen; met een grondig uitgewerkt filosofisch non-dualistisch raamwerk, dat zowel de kwantitatieve als de kwalitatieve dimensie recht doet, met een gegronde ecologische visie op al het aardse leven en met een wiskundige benadering, die weer oog krijgt voor topologie, complexiteit, netwerken en patroonvorming. Elke vorm van reductionisme is in deze contraproductief aan het ‘leven’ zelf, laat staan, dat we haar op deze wijze kunnen begrijpen en verstaan als een holotropisch fenomeen.

Centraal in dit concept dient het begrip ‘organisatiepatroon’ te functioneren. Het vereist een nieuwe manier van denken, die zowel in begrippen als in beelden kan denken, zowel analytisch als synthetisch, zowel causaal als analoog, zowel empirisch als fenomenologisch. Er bestaat een continue historische lijn van denkers, die inziet dat het denken in patronen van cruciaal belang is voor het begrijpen en het beelden van een levende Gestaltvorming. Laten we die lijn kort samenvatten als een reeks van hermetische denkers, van Pythagoras tot en met Goethe en verder via de kristallijne dimensie (Expressionisten begin 20ste eeuw) tot in de organistische biologie. In onderstaande alinea volgt slechts een kleine greep.

Alexander Bogdanov was de eerste die probeerde om de begrippen organisatie, patroon en complexiteit te integreren in een samenhangende systeemtheorie. De cybernetici richtten hun aandacht op patronen van communicatie en sturing, patronen van rondgaande causaliteit in de dynamiek van feed forward en feed back processen. Prigogine ontwikkelde het begrip dissipatieve structuren en hypercycli in katalytische chemische processen. Maturana en Varela ontwikkelden het zelforganisatie begrip in levende systemen, zowel op immaterieel als op materieel niveau. Benoit Mandelbrot ontwikkelde een wiskunde voor het in beeld brengen van complexe visuele patronen.

Het kunnen denken in patronen is van cruciaal belang voor een wetenschappelijke benadering van het fenomeen leven, bewustzijn en geest, zowel op materieel als op immaterieel niveau, zowel kwantitatief causaal analytisch, als kwalitatief analoog synthetisch.

Het accent moet zowel op de wijze van ordenen als op de wijze van structureren gelegd worden. Het eerste meer immaterieel van aard en het tweede meer materieel van aard. Ze zijn niet te scheiden, slechts te onderscheiden, aangezien ze beiden in een voortdurende circulaire interactie verkeren, dus in een integrale samenhang gedacht moeten worden. Het immateriële aspect wordt binnen een empirisch kwantitatieve wetenschapsopvatting discutabel geacht. Maturana definieert het in deze voorlopig als een kenproces in brede zin, dat in staat is te leren en te veranderen. De vraag is dan waarop dat kenproces gebaseerd wordt?

De wijze waarop het levende wezen zichzelf ordent, betreft het organisatieproces dat, met behulp van voorhanden onderdelen, de materiele belichaming van het organisatiepatroon van het systeem structureert. Het organisatiepatroon echter betreft het samenstel van verbanden dat de essentiële eigenschappen van een systeem bepaalt. Ordening en structuur komen dus georganiseerd tezamen in een patroon. Een patroon is dus niet mogelijk zonder enerzijds het ordende principe en anderzijds het structurele principe, het eerste meer kwalitatief van aard en het tweede meer kwantitatief van aard.

De wijze echter waarop ordening en structuur elkaar wederzijds circulair bemiddelen, wordt aangeduid als een voortgaand proces, zij het in een gegeven tijd en in een gegeven ruimte. De aard van het ordenen is meer kwalitatief procesmatig en de aard van het structureren is meer kwantitatief inhoudsmatig; het procesmatige raakt de structuur ten diepste en zo ook raakt het inhoudsmatige de ordening ten diepste. Ze zijn onlosmakelijk met elkaar verbonden in zowel het circulaire levensproces als in het circulaire kenproces.

Fritjov Capra definieert in navolging van al het voorafgaande het levensproces als de ‘kenactiviteit’ die gepaard gaat met de voortgaande belichaming van het organisatiepatroon van het systeem. Het procescriterium is de schakel tussen ordenen en structureren, ordeningswetmatigheden en structureringswetmatigheden, tezamen komend in een organiserend en georganiseerd patroon. Het organisatiepatroon bepaalt de wezenlijke kenmerken van een systeem. Het bepaalt of een systeem levend of levenloos, organisch of anorganisch is.

Capra benoemt drie conceptuele dimensies: Autopoiese, inherent aan het organisatiepatroon van levende systemen (Maturana / Varela). Dissipatieve structuren, inherent aan de structuur van levende systemen, behoudens alle dissipatieve structuren, die niet autopoietisch, dus niet levend zijn (Prigogine). Cognitie, inherent aan levensprocessen (Gregory Bateson, Maturana / Varela).

Het organisatiepatroon van een levend systeem betreft altijd een netwerkpatroon, maar niet alle netwerken zijn levende systemen. Het cruciale kenmerk van een levend netwerk is dat het zichzelf voortdurend produceert. Dus het zijn en het worden, zijn onscheidbaar in levende systemen, dat kenmerkt dus hun organisatievorm. Zelfcreatie is een netwerkpatroon waarin elk onderdeel de functie heeft om bij te dragen aan het wel en wee van de andere onderdelen in het netwerk. Op die manier is het netwerk bezig zichzelf te veranderen en zichzelf in stand te houden.

Het eenvoudigste levende systeem is een cel; het is echter schijnbaar eenvoudig, want in elke cel vinden zeer complexe processen plaats. In ieder geval is elke cel een autonoom autopoietisch organisme, deels door een membraam afgegrensd en deels middels dat zelfde semipermeabele membraan in contact met alle andere cellen in het netwerk. Elke cel is dus zowel een gesloten als een open systeem. Het omvat een binnenwereld en het ligt gevat in een buitenwereld. Het is organisatorisch ordenend gesloten en organiserend structurerend open. In die afgesloten binnenwereld vinden we weer kleinere afgesloten leden en of delen die met elkaar interacteren in een voortdurende constructieve interferentie. Tegelijkertijd staat dit zichzelf organiserende systeem in een voortdurende open uitwisseling met de buitenwereld, zowel energetisch als stoffelijk. Alle interacties in de binnenwereld en met de buitenwereld maken het mogelijk om het levende systeem zowel te veranderen als te continueren, in te wikkelen en te ontwikkelen, te vernieuwen en in stand te houden, op te bouwen en af te breken. Het is zowel statisch als dynamisch, zowel ordenend als structurerend, zowel procesmatig als inhoudelijk, zowel kwalitatief als kwantitatief opererend. Zowel fysisch als biochemisch, zowel mechanisch als organisch.

De interne bovenleden zijn de zo genoemde organellen, ieder met een eigen membraam, deels met eigen genetisch materiaal en een eigen functie in het geheel van de cel. In de plantencel vinden we 4 organellen: Chloroplasten, Mitochondria, Lysosomen en Golgiapparaten. De bovenleden functioneren binnen het geheel van een samenhangend ordeningsproces waarin de onderdelen genut worden om vorm te geven aan zeer onderscheiden structuren. En dit alles in een samenhangend zichzelf organiserend patroon.

Zwevend in de Cytoplasma, de celvloeistof, de rijke moleculaire oersoep, vinden we de Nucleus, de kern, die het DNA, de blauwdruk bevat. In de kern vinden we de Nucleolus, de minikern, waar de Ribosomen, de productiecentra (500.000) worden aangemaakt, die met het RNA van de Nucleus de cel eigen enzymen en eiwitten produceren. In de plantencel vinden we de Chloroplasten, de zonnecollectoren voor de fotosynthese processen. Verder de Mitochondria, de energiecentrales, waar de energiedragers, de ATP’S, de belangrijkste energie-eenheden worden aangemaakt, die de energie leveren voor alle stofwisselingsprocessen in de cel. Deze 2 plaatsen we op de zelf as tussen vuur en waterkwadrant. Verder vinden we er de opslagblaasjes, de Golgi apparaatjes voor de opslag van alle mogelijke cel producten en de Lysosomen, de hergebruik centra, die het onbenodigde afbreken en het benodigde weer opbouwen. Deze 2 organellen plaatsen we op de ik as tussen aarde en lucht kwadrant. Het Membraam omsluit de cel en reguleert de opname en de afgifte van bouwstoffen en afvalstoffen.

Een levend systeem is zowel open als gesloten, het is structurerend open en ordenend gesloten. Enerzijds gaat er voortdurend materie in en uit en anderzijds vindt er steeds ordening en herordening plaats in een levend systeem, zoals o.a. tussen afbraak en opbouw processen. Enerzijds een stabiele vorm die structurerend open is en anderzijds instabiele inhouden die in een gesloten ordening circuleren. Een stabiele vorm interacteert met een gesloten ordeningsproces. Instabiele inhouden interacteren in een open structureringsproces. Het is deze complexe wisselwerking, die ervoor zorgt, dat er geen ordening is zonder structuur en geen structuur zonder ordening.

Open en gesloten, stabiel en instabiel, dynamisch en statisch, structuur en ordening vormen een continue discontinue weef en of golfbeweging, waarin telkens een keer en tegenkeer in functioneert, tussen kwantitatieve structurele aspecten en kwalitatieve ordende aspecten. Het betreft dus niet alleen een duale of of dynamiek, maar ook een en en dynamiek en in deze een polaire dynamiek van tegendelen, waarin het ene niet is zonder het andere, ze vullen elkaar voortdurend wederzijds aan.

Het onderscheid tussen levende en niet levende systemen is zonder meer relevant als we het hebben over het organische en het anorganische bereik. Anderzijds dient de vraag aan de orde gesteld te worden in hoeverre in het anorganische bereik evenzeer ‘levendige’ – fysisch en biochemisch gestuurde – ‘wisselwerkingen’ kunnen plaatsvinden?

Het onderscheid tussen leven en dood is duidelijk wat betreft het organische bereik, maar in het anorganische bereik is er ook een onderscheid te vinden tussen in evenwicht bevinden en ver van het evenwicht bevinden, hetgeen respectievelijk relateert aan statiek, min om meer stilvallend, min of meer ‘dood’, en aan dynamiek, min of meer in beweging komend, min of meer ‘levend’.

Met andere woorden het onderscheid tussen anorganisch en organisch brengt niet zozeer alleen onderscheiden bereiken in beeld, als wel dat er wisselwerkingen en dus ook overgangen te vinden zijn, tussen het anorganische en het organische. Het organische is niet mogelijk zonder het anorganische bereik en omgekeerd moeten we aannemen dat het anorganische dus ook niet mogelijk is zonder het ‘organische’ bereik. In het anorganische vinden ‘organische processen plaats, zoals in het organische anorganische processen van node zijn.

De gepostuleerde grens tussen anorganisch en organisch, dient daarmee te vervallen. Het anorganische staat dus open voor het organische, zoals het organische open staat voor het anorganische. Het is precies deze wisselwerking, die het mogelijk maakt dat uit het organische proces het anorganische voort komt en dat uit het anorganische proces het organische proces voortkomt. In het anorganische bereik komen evenzeer dynamieken aan de orde, die in het organische bereik een beduidende rol spelen, zij het op een andere level en of bestaansniveau. Het anorganische is wel degelijk ook organiserend.

Vandaar dat anorganiserend te verstaan als niet organiserend niet juist is. Het onderscheid ligt mogelijk eerder in de wijze van organiseren en dat wil zeggen, in de wijze waarop fysische stoffen en chemische stoffen interacteren en of elkaar organiseren en of elkaar bewerken en of in betrekking staan. De vraag is dus in hoeverre ook fysische en chemische processen zich ook organiseren tot betekenisvolle gehelen. Dit betreft het werk van Ilya Prirogine.

Prigogine gebruikt de term dissipatieve (verstrooiend) structuur, voor het schijnbaar paradoxale samengaan van verandering en stabiliteit. Het gaat dan om het samengaan van een continue stroom en een structurele stabiliteit. Een van de simpelste voorbeelden van een dissipatieve structuur is een draaikolk in stromend water. Er stroomt voortdurend water door de draaikolk, maar toch blijft de kenmerkende vorm, met de bekende wervels en de taps toelopende buis, opvallend stabiel. Evenwel betreft het een behoorlijk ingewikkeld verschijnsel. Nog ingewikkelder verlopende dissipatieve structuren zijn wervelstormen. Deze dissipatieve structuren behouden hun stabiliteit alleen zolang er een constante stroom van materie uit de omgeving door de structuur gaat. De krachten, die hier optreden zijn voornamelijk mechanisch van aard, mede onder invloed van de zwaartekracht.

Zowel een melkwegstelsel als een zonnestelsel zijn een betekenisvol geheel, ooit ontstaan uit een zeer complex proces van krachten en machten en voorlopig nog wel even voortdurend, niet wetend hoe hun vergaan en detail zal kunnen verlopen. Maar ontstaan en vergaan, verschijnen en verdwijnen, behoren blijkbaar tot de continue discontinue stroom van al wat is.

Zo ook bestaat een levende cel slechts bij de gratie van een continue discontinue stroom van materie en energie, zij het in deze minder mechanisch maar meer biochemisch van aard. In het autopoietische netwerk van de cel betreffen het katalytische cycli, die optreden als terugkoppelingsprocessen, die zichzelf in evenwicht houden. In alle stofwisselingsprocessen staan de katalytische cycli centraal, die deels stabiel en deels ook instabiel zijn. De cruciale eigenschap van deze cycli is, dat ze niet alleen in staat zijn zichzelf in evenwicht te houden, maar ook om op te treden als zelfversterkende terugkoppelingskringen, die het systeem steeds verder uit evenwicht brengen tot het de drempel van een nieuwe stabiliteit bereikt. Dat punt heet een vertakkingspunt. Het is een instabiliteitspunt, waarop spontaan nieuwe vormen van orde kunnen ontstaan, met ontwikkeling en evolutie als gevolg.

Ilya Prigogine onderzocht de, door hem zo genoemde, dissipatieve structuur van een zelforganiserend systeem. Hij vroeg zich af hoe levende organismen hun levensprocessen in stand kunnen houden zonder dat ze in een evenwichtstoestand verkeren, maar juist ver van hun evenwichtstoestand verkeren.

Prigogine ontdekte, tussen 1960 en 1970, dat systemen ver van hun evenwichtstoestand alleen beschreven kunnen worden met niet-lineaire vergelijkingen. Daartoe onderzocht hij allereerst het verschijnsel van warmteconvectie in een dunne vloeistoflaag, dat bij gelijkmatige verhitting op een gegeven moment kon leiden tot een opvallend geordend patroon van zeshoekige convectiecellen, waarbij warme vloeistof in het centrum van de cellen omhoog gaat, terwijl koelere vloeistof langs de wanden van de zeshoekige convectiecel omlaag stroomt. Een verschijnsel dat H.Bénard, begin 20e eeuw, als eerste ontdekte, de naar hem genoemde zeshoekige Bénardcellen. Prigogines gedetailleerde analyse van deze Bénardcellen wijst uit dat het systeem, als het steeds verder van een evenwichtstoestand verwijderd raakt, een kritiek instabiliteitspunt bereikt, waarop het geordende zeshoekige patroon spontaan ontstaat.

Bénard-instabiliteit is dus een voorbeeld van spontane zelforganisatie, die zich reeds voordoet in het fysische anorganische bereik. De onbalans die door de continue warmtestroom in het systeem in stand wordt gehouden, genereert een ingewikkeld ruimtelijk patroon waarin miljoenen moleculen in een samenhangend bewegingspatroon zeshoekige convectiecellen vormen. Bénardcellen komen ook buiten het laboratorium in de natuur voor, zoals in opwaartse zeshoekige luchtcirculatiestromingen met hun afdrukken in zandwoestijnen en sneeuwvelden.

Prigogine onderzocht verder de zogenoemde ‘chemische klokken’ met golven van chemische activiteit in de Belousov-Zhabotinskii-reactie. Dit betreffen kleur-reacties, die ver van een chemische evenwichtstoestand optreden en die heel opvallende periodieke schommelingen vertonen. Daarbij ontstaat een grote mate van orde door de samenhangende activiteit van miljarden moleculen, die spontaan ontstaat op kritieke instabiliteitspunten ver van de evenwichtstoestand.

Om het zelforganisatieverschijnsel in open systemen, die in onbalans verkeren, te kunnen beschrijven ontwikkelde Prigogine een nieuwe non-lineaire thermodynamica met reactie-diffusievergelijkingen. De klassieke thermodynamica onderzocht evenwichtsstructuren zoals bijvoorbeeld kristallen met lineaire vergelijkingen. Structuren ver van hun evenwichtstoestand noemde hij ‘dissipatieve structuren’, aangezien het om een ander fysisch chemisch fenomeen gaat, waarin dissipatie in open systemen juist een bron wordt van een nieuwe complexe orde. Ver van hun evenwichtstoestand zijn ze toch stabiel, maar als de stromen van energie en materie toenemen, kunnen ze nieuwe instabiele toestanden doormaken en evolueren tot nieuwe stabiele structuren van grotere complexiteit.

Door natuurkundige en chemische systemen te bestuderen, die instabiele fasen doorlopen en nieuwe vormen van orde genereren, stoten onderzoekers zoals Prigogine en Hermann Haken en Manfred Eigen op het fenomeen zelforganisatie. Daartoe onderzocht Haken het fenomeen Laser natuurkundig en Eigen onderzocht moleculaire zelforganisatie processen die bekend staan als katalytische hypercycli.

Haken onderzocht op welk moment incoherente lichtgolven met verschillende frequenties en fasen spontaan overging naar coherent gecoördineerd laserlicht dat bestaat uit een enkele continue monochrome golftrein. Volgens Haken betrof dit een proces van zelforganisatie die hij kon beschrijven met niet-lineaire vergelijkingen. Het betrof niet een klassiek versterkingsproces van aangeslagen atomen, waarin hun elektronen naar een hogere baan worden getild. Vandaar nog de afgeleide term Laser: Lichtversterking door gestimuleerde stralingsemissie. In feite toont Haken experimenteel het tegendeel aan, namelijk dat de coördinatie van de straling door het laserlicht zelf wordt verzorgd. Hij bedacht rond 1985 voor het verschijnsel zelforganisatie de term synergetica en zo werd het fenomeen Laser een belangrijk instrument voor het onderzoek naar zelforganisatie op fysisch niveau.

Eigen onderzocht het fenomeen zelforganisatie op fysisch chemisch niveau, met name om licht te kunnen werpen op de niet toevallige oorsprong van het leven uit de zogenaamde moleculaire chaos. Integendeel, dat toeval had geen schijn van kans. Hij postuleerde dat de oorsprong van het leven het resultaat was van een voortgaand zelf organiserend proces in chemische systemen, die ver van hun evenwichtstoestand verkeerden. Daarin speelden hypercycli van gekoppelde terugkoppelingskringen mogelijk een grote rol. Daarmee postuleerde hij een voor-biologische evolutiefase, waarin op moleculair niveau selectieprocessen optraden als een materiele eigenschap, die inherent is aan katalytische reactie systemen. Katalytische reacties zijn cruciale processen in de scheikunde van het leven. Een katalysator is een stof, die de snelheid van een chemische reactie versnelt, zonder zelf in dat proces te worden omgezet. De meest effectieve katalysatoren zijn de enzymen. Zij verzorgen de stofwisselingsreacties, die essentieel zijn voor het leven in elke cel.

Eigen onderzocht enzymreacties in biochemische systemen ver van hun evenwichtstoestand en onderhevig aan constante energiestromen. Met zijn medeonderzoekers zag hij, dat verschillende katalytische reacties zich combineren tot ingewikkelde netwerken. die gesloten kringen kunnen bevatten, de zogenoemde katalytische cycli. Zo een katalytische cyclus vormt het hart van een zelf organiserend chemisch systeem. Onder een breed scala van omstandigheden blijven ze opmerkelijk stabiel. Wanneer ze voldoende tijd en energie krijgen, gaan ze in elkaar haken en vormen ze gesloten kringen waarin de enzymen die in de ene cyclus worden geproduceerd als katalysator voor de volgende cyclus fungeren. Hij bedacht de term hypercycli voor dit soort kringen waarin elke schakel een katalytische cyclus vormt. Ze zijn én opmerkelijk stabiel én ze zijn in staat tot zelfreplicatie en tot het corrigeren van replicatiefouten én ze kunnen evolueren, dat wil zeggen ze kunnen ingewikkelde informatie vasthouden en doorgeven. En dit alles op een voor-biologisch chemisch niveau. Eigen zag deze chemische mutaties dan ook als voorlopers van levende systemen. Hypercycli organiseren zichzelf, reproduceren zichzelf en evolueren.

Autopoiese. Blz. 100 – 105.

Zichzelf organiserende, zichzelf reproducerende, zichzelf in standhoudende, zichzelf evoluerende systemen. Waar komt dat voor? In levende en in levenloze systemen, in organische en in anorganische systemen? Deze vraag heeft veel onderzoekers in toegepast systeem denken bezig gehouden.

Er bestaan twee tradities in het systeem denken, die elk zich slechts bezig hielden met één kant van de cartesiaanse kloof, in deze geest of lichaam, cybernetica of het organieke. Terwijl je eigenlijk ‘de interne organisatie van dat wat integraal leeft’ moet onderzoeken, zowel naar geest als lichaam.

Humberto Maturana onderzocht (1960-1970) de analoge relatie tussen de wijze waarop het neurale netwerk functioneert en de wijze waarop het organieke netwerk functioneert.

‘Het zenuwstelsel werkt als een gesloten netwerk van interacties waarin elke verandering van de interactieve relaties tussen bepaalde componenten altijd leidt tot een verandering in de interactieve relaties tussen dezelfde componenten en of tussen andere componenten.’

De wijze waarop de circulaire organisatie van het zenuwstelsel functioneert, is analoog aan de wijze waarop de circulaire organisatie van alle levende systemen functioneert. Functioneel gezien is er dus geen scheiding tussen die twee te onderscheiden functies aan te brengen.

Levende systemen organiseren zich als een gesloten circulair causaal proces, dat evolutionaire veranderingen toestaat in de manier waarop die circulariteit in stand wordt gehouden, maar tegelijkertijd ook tracht, het verlies van die circulariteit tegen te gaan.

Al wat leeft is gebaseerd op deze basale circulaire organisatie: alle veranderingen in het systeem vinden plaats in deze basale circulariteit. Onderdelen die de circulaire organisatie bepalen, dienen daar ook geproduceerd, afgebroken en weer gereproduceerd te worden. Opbouwprocessen en afbraakprocessen vormen een circulair proces waarin aanvoer en afvoer van onderdelen eveneens aan de orde zijn.

In dit netwerkpatroon heeft elk onderdeel de functie om al of niet met elkaar andere ‘onderdelen’ te produceren en te doen interfereren, zodat alle ‘bovenleden’ tezamen de omvattende circulariteit van het netwerk constructief in stand helpen te houden.

Het zenuwstelsel is zowel zelf organiserend als ook zelf verwijzend.

Volgens Maturana / Varela betreft waarnemen niet het afbeelden van een externe werkelijkheid, maar waarnemen moet begrepen worden als het voortdurend scheppen van nieuwe verbanden binnen het neurale netwerk. Zo ook functioneert het denken. Waarneming noch kennis weerspiegelen een externe werkelijkheid, daarentegen specificeren ze een werkelijkheid door middel van het circulaire organisatieproces van het zenuwstelsel. Het proces van circulaire organisatie, met of zelfs zonder zenuwstelsel, is identiek aan het kenproces. Levende systemen zijn cognitieve systemen en vice versa. Leven als proces is per definitie een kenproces. Dit geldt voor alle organismen.

Aan deze circulaire organisatie gaven Maturana en Varela de naam autopoiese, ‘auto’ betekent zelf en ‘poiese’ betekent scheppend, in deze dus een zelfscheppend systeem. Het eenvoudigst functionerende systeem is de levende cel die zichzelf schept en in stand houdt. Niet alleen de eigenschappen van inhouden en of bestanddelen zijn op zich bepalend, maar eveneens de relaties in processen en de relaties tussen processen, die zeer wel mede door middel van de bestanddelen tot stand komen en vice versa.

We dienen een onderscheid aan te brengen tussen ordenen en structureren (tussen ordening en structuur), die beiden tezamen de zelforganisatie van een systeem bepalen.

De ordening van een levend systeem is de verzameling van relaties tussen zijn onderdelen. De beschrijving van die ordening is een beschrijving van abstracte relaties die de betreffende onderdelen in een bepaald verband ordenen.

De structuur van een levend systeem daarentegen wordt bepaald door de concrete relaties tussen feitelijk aantoonbare materiele componenten. De structuur van een systeem is de concrete belichaming van zijn ordening.

De systeemordening is onafhankelijk van de eigenschappen van de onderdelen, zodat een bepaalde ordening op allerlei manieren met allerlei soorten onderdelen kan worden gerealiseerd tot een levende structuur. De structuur betreft de feitelijke fysische en chemische interacties.

Er moet dus een duidelijk verschil tussen ordening en structuur aangebracht worden. Er bestaan structuur georiënteerde zelforganisatiemodellen (Prigogine en Haken) en er bestaan ordening georiënteerde zelforganisatiemodellen (Eigen, Maturana-Varela). Het is zaak die beiden te integreren in een samenhangende theorie over organische en anorganische systemen.

Autopoiese is de ordening die alle levende systemen als kenproces gemeen hebben. Het betreft een netwerk van productie en reproductieprocessen, waarin elk onderdeel de functie heeft bij te dragen aan de productie en of reproductie van andere onderdelen in het netwerk. Het hele netwerk is bezig zichzelf te organiseren, dat wil zeggen te ordenen tot een levende structuur waarin de onderdelen worden gemaakt en weer worden gebruikt om de ordening te structureren . Ordenen en ordeningen betreffen processen en deze processen ordenen de onderdelen, anderzijds structureren de onderdelen weer de ordening. Het product van de werking van een levend systeem is zijn eigen ordening en structurering, beiden bepalen de specifieke organisatie ervan. Een belangrijk kenmerk van een levend zichzelf organiserend kennissysteem is het scheppen van een grens, die het werkingsdomein van het netwerk vastlegt en bijgevolg het systeem als een eenheid definieert.

Dit vinden we deels terug in de schoenveter hypothese van Geoffrey Chew m.b.t. de samenstelling en interactie van subatomaire deeltjes: deeltjes die sterke interactie vertonen, via hoogenergetische botsingen, vormen een interactienetwerk, waarin elk deeltje meehelpt om andere deeltjes te genereren en op zijn beurt weer door andere deeltjes gegenereerd kan worden. Zij het dat dit netwerk geen grens vormt en dus niet autopoietisch genoemd mag worden. De vraag is echter waar de grens van deze interacterende deeltjes al of niet getrokken kan worden.

Refererend aan Deel 3 Hoofdstuk 6 blz. 117 -156. Complexiteitswiskunde.

Aan Fritjof Capra ontleen ik zijn historische beschrijving van de mathematica.

Het idee van een levend systeem als een zelf organiserend netwerk van onderling elkaar verbindende afhankelijke leden en of van elkaar scheidende onafhankelijke delen is wezenlijk om tot een goed verstaan en begrijpen te komen van elk ‘levend systeem’ op zich als een deels open en een deels gesloten systeem. Evenzeer is aan de orde daar waar afhankelijke leden worden gescheiden en of onafhankelijke delen worden verbonden in een multidimensionaal geheel van variabelen. (levend verstaan als zichzelf organiserend en wel van het anorganische tot en met het organische bereik)

In een gesloten systeem kan men onderzoek doen naar lineaire verschijnselen, die zo mogelijk kwantitatief uitgewerkt kunnen worden. In een open systeem kan men onderzoek doen naar non-lineaire verschijnselen, die zo nodig kwalitatief uitgewerkt dienen te worden. Het spreekt, dat een kruis bestuivende benadering in het kader van het functionele paradigma zeer wel tot de uitdagingen gerekend moet worden.

Evenwel moet men zich rekenschap geven van het inmiddels spreekwoordelijke feit dat een reductionistische lineaire benadering van een non-lineaire werkelijkheid deze werkelijkheid tekort doet. De non-lineaire werkelijkheid vormt namelijk het grootste deel met evenzeer een complex geheel aan non-lineaire verschijnselen. Non-lineaire verschijnselen vormen een wezenlijk aspect in de netwerkpatronen van ‘levende systemen’ die zichzelf organiseren, zichzelf reproduceren, zichzelf in stand houden en zichzelf verder ontwikkelen.

Een gedetailleerd model van een zelf organiserend systeem wordt pas mogelijk, wanneer men in staat is om onderling onderscheiden analoge modellen compatibel uit te werken tot een verbindend patroon, hetgeen pas mogelijk wordt door het ontwikkelen van een systeem dynamisch instrumentarium teneinde voor een gegeven levend netwerk een kenmerkende non-lineaire onderlinge verwevenheid te kunnen modelleren.

In de non-lineaire werkelijkheid kunnen eenvoudige deterministische vergelijkingen een onverwachte rijkdom aan variatie in gedrag opleveren. Anderzijds kan ingewikkeld en complex gedrag leiden tot geordende structuren, tot subtiele en betekenisvolle patronen. Met een eenvoudig uitgewerkt acht-ledig grondpatroon, in relatie tot een divers geheel aan onderscheiden beeldregels, kunnen verrassend genoeg, de meest complexe dynamieken uit tal van bereiken convers in kaart gebracht worden.

Middels een simplex, kunnen themata uit een complex, systeem dynamisch aan het licht gebracht worden. Blijkbaar huist er zowel een structuur als een ordening in al wat is en wordt. Zie in deze, bijvoorbeeld de ineenvouwende wijze waarop de biografie met behulp van het duogram ontvouwend in beeld gebracht kan worden, uitmondend in een biografiek, een gevisualiseerd levens-patroon.

Het gedrag van een complex systeem, zoals het gedrag van een mens, is niet zo maar willekeurig, maar wijst op een dieper niveau van waaruit ordening en structuur ontstaat, tezamen komend in een kwalitatief visueel patroon. Voorspelbaarheid is in deze niet aan de orde, eerder een object betrokken zichtbaarheid. Een innerlijk onzichtbaar verlopend subject betrokken proces kan je op deze wijze objectiveren zodat het aan het bewustzijn treedt van het betreffende subject.

Met de omslag van het ontologische naar het functionele paradigma zien we ook een omslag in de wijze waarop de werkelijkheid wetenschappelijk onderzocht kan worden, samenhangend met een geleidelijke omslag in het denken en evenzeer een geleidelijke omslag in de mathematica zelf. Men spreekt in deze van nieuw wiskundig gereedschap waarmee men in staat is gedetailleerde modellen te visualiseren waarmee de voor netwerken kenmerkende non-lineaire verwevenheid in beeld en tot begrip gebracht kan worden.

Het betreffen theorieën en modellen over zelforganisatie, die betrekking hebben op zeer ingewikkelde systemen van duizenden onderling afhankelijke fysische, chemische en biochemische reacties. Geleidelijk aan is al het benodigde wiskundige gereedschap uitgegroeid tot een coherent en consistent wiskundig raamwerk, met een nieuwe verzameling begrippen en technieken waarmee complexiteit kan worden aangepakt.

Deze wiskunde heeft nog geen nieuwe naam, er circuleren diverse variaties: complexiteitswiskunde, dynamische systeemtheorie, systeem dynamica, complexe dynamica, systeem dynamiek, zowel kwantitatief als kwalitatief opererend.

Enerzijds betreft het dus een wiskundige theorie waarvan de begrippen en technieken op een breed scala van verschijnselen kan worden toegepast en anderzijds betreft het een dynamische systeemtheorie over materiële en ideële verschijnselen. De nieuwe wiskunde is een wiskunde van relaties en patronen, evenzeer zien we dat in de kwalitatieve systeem dynamiek aan de orde komen en zeer wel ook met een geheel van vernieuwde begrippen, zie in deze het grondpatroon (te vinden in het Sophia boek).

Kenmerkend voor het systeemdenken is de verschuiving van kwantitatief naar kwalitatief denken, van begrip naar beeld, van analyse naar synthese, van object betrokken naar subject betrokken routings, van posities naar betrekkingen, van inhouden naar verbanden, van modellen naar patronen.

Voor het kunnen berekenen van complexiteit hebben grote en zeer snelle computers een cruciale rol gespeeld. Langs die weg hebben wiskundigen nieuwe kwalitatieve gedragspatronen in onderscheiden complexe systemen ontdekt, het betreft een nieuw niveau van orde achter de schijnbare chaos. Voor wat betreft het denken en werken inzake systeem dynamiek is men echter nog altijd aangewezen op de mens-eigen computer, in deze de onderscheiden functies van het complex functionerende menselijke brein.

Zo het denken een lange weg heeft afgeleid in haar ontwikkeling, zo ook de wetenschap en parallel eraan de wiskundige taal, die via meetkunde, werkend met meetkundige figuren, evolueerde naar een nog elementaire algebra, afgeleid van het Arabische ‘al-jabr’ dat ‘samenbinden’ betekent.

Elementaire algebra verwijst naar een proces waarin het aantal onbekende grootheden wordt gereduceerd door ze in vergelijkingen te verbinden. Vergelijkingen waarin letters verschillende constante waarden representeren. In de hogere algebra gaat het om relaties, functies genoemd, tussen onbekende niet-constante getallen en of variabelen.

In de tijd van Galilei bestonden er twee verschillende benaderingen voor het oplossen van wiskundige problemen: meetkunde (Griekenland) en algebra (India), afkomstig uit onderscheiden culturen. Descartes voegde meetkunde en algebra bijeen in wat nu als analytische meetkunde bekend is. Hij ontwikkelde een cartesiaans coördinatensysteem voor lineaire en non-lineaire vergelijkingen, met respectievelijk rechten en krommen.

Dankzij de methode van Descartes konden de wetten van de mechanica die Galilei had ontdekt zowel in de algebraïsche vorm van vergelijkingen als in meetkundige visuele vormen worden weergegeven. Wat echter nog niet wiskundig opgelost kon worden waren vergelijkingen, die afnemende en toenemende, niet constante, variabelen beschreven.

Dat probleem losten, onafhankelijk van elkaar, Newton en Leibniz op, door een nieuwe wiskundige methode uit te denken, die nu bekend staat als differentiaalrekening en openden daarmee één van de poorten naar de hogere wiskunde. Meetkundig gesproken wordt het dan zaak dat de rechte de raaklijn van de kromme wordt, door de rechte steeds dichter en dichter bij de kromme te brengen. De cruciale stap is het bereiken van de limiet van oneindig kleine verschillen. Wiskundigen noemen zulke oneindig kleine verschillen een differentiaal en het berekenen ervan is wiskundig gezien geen kleinigheid. De crux wordt echter de precieze definitie van de limiet van het oneindig kleine.

In ieder geval kon voorlopig het oneindigheidsbegrip omgezet worden in een te berekenen eindigheid, zowel in tijd als in ruimte. In de 18e en de 19e eeuw werden de door Newton in de 17e eeuw opgestelde bewegingsvergelijkingen, steeds abstracter, eleganter en verfijnder uitgewerkt door Laplace, Euler, Lagrange en Hamilton. Daarmee konden onderzoekers een steeds breder scala aan natuurverschijnselen analyseren, zoals planeetbewegingen, getijdenbewegingen, vloeistofbewegingen, trillingen van snaren, klokken en andere elastische lichamen.

Door de enorme successen, gingen de wetenschapsbeoefenaren van de vroege 19e eeuw geloven dat de werkelijkheid één groot mechanisch systeem was. Het mechanistische paradigma berustte op de vooronderstelling dat alles wat gebeurde een oorzaak had en leidde tot een welomschreven gevolg; in principe kon met absolute zekerheid iets worden voorspeld. In de praktijk echter werden de beperkingen om de natuur te modelleren al snel duidelijk, aangezien de ingewikkeldheid van grote delen van de werkelijkheid zich aan mechanistische modellering bleken te onttrekken.

Maxwell ontwikkelde in de 19e eeuw een statistische methode om de enorme ingewikkeldheid van de beweging van individuele moleculen (bijvoorbeeld in een gas) terug te brengen tot te berekenen en waar te nemen regelmatigheden. Hij wist het gemiddelde gedrag van alle moleculen te berekenen om zo de basale eigenschappen van een gas te kunnen verklaren. Statistiek en waarschijnlijkheidsleer waren sinds de 17e eeuw in ontwikkeling. De combinatie van statistische methoden en newtoniaanse mechanica leidde tot de statistische mechanica, hetgeen de theoretische grondslag zou vormen voor de thermodynamica.

Tegen het einde van de 19e eeuw beschikten wetenschapsbeoefenaren over twee verschillende wiskundige instrumenten om natuurverschijnselen te modelleren. Eentje voor eenvoudige systemen en een andere voor ingewikkelde systemen. Hoewel beide technieken heel verschillend waren, gebruikten ze beide lineaire vergelijkingen. Het gevolg daarvan was dat men doorgaans het onderzoek vermeed naar non-lineaire chaotische systemen, omdat de daarvoor benodigde non-lineaire vergelijkingen te ingewikkeld waren om oplosbaar te zijn.

Daar waar non-lineaire vergelijkingen opdoken, daar werden ze onmiddellijk vervangen door lineaire vergelijkingen. Die gewoonte sleet zodanig in dat veel vergelijkingen al gelineariseerd werden, terwijl men ze afleidde, de non-lineaire versies kwamen niet meer in de wetenschappelijke handboeken terecht.

Voor de 18e eeuw was de werkelijkheid een klokmechaniek, voor de 19e en een groot deel van de 20e eeuw een lineaire mechaniek. De beslissende verandering in de afgelopen 50 jaar was de erkenning dat de natuur, aldus Ian Stewart ‘meedogenloos non-lineair’ is. Dat is begrijpelijk voor de levende werkelijkheid, maar ook in de levenloze wereld spelen non-lineaire verschijnselen een zeer grote rol en vormen ze een wezenlijk aspect in de netwerkpatronen van levende systemen.

Deze onderzoeken worden pas mogelijk door de wiskunde te verbreden en te verdiepen met de dynamische systeem theorieën, teneinde de complexiteit van non-lineaire verschijnselen te kunnen hanteren. Deze ontwikkeling dwingt tot een heroverweging van een aantal fundamentele ideeën over de relaties tussen een wiskundig model en de verschijnselen die het beschrijft. Met name o.a. hoe verhouden ‘simplex’ en ‘complex’ zich tot elkaar?

Aanvankelijk werden eenvoudige vergelijkingen genut voor eenvoudige simplexe systemen en veelvoudige vergelijkingen voor veelvoudige complexe systemen. In de non-lineaire werkelijkheid echter kunnen eenvoudige deterministische vergelijkingen een enorme variatie aan gedrag opleveren. Anderzijds kunnen chaotische en complexe gedragingen herleid worden tot geordende structuren en of tot subtiele en harmonische patronen.

Met andere woorden het gedrag van chaotische systemen is zeker niet willekeurig, maar verwijst naar een dieper niveau van orde en patroon. Nieuwe wiskundige technieken zijn nu in staat om de onderliggende patronen zichtbaar te maken in duidelijke vormen. Tegelijk blijken non-lineaire vergelijkingen vaak niet te leiden tot precieze voorspellingen. Daarentegen brengt aandacht voor een non-lineaire werkelijkheid een verschuiving teweeg van een kwantitatieve naar een kwalitatieve benadering.

Verder wordt een non-lineaire werkelijkheid bepaald door een veelvuldig optreden van zelfversterkende terugkoppelingsprocessen, de zo genoemde iteraties. Daardoor kunnen kleine effecten dramatische veranderingen teweeg brengen. Non-lineaire terugkoppelingsprocessen vormen de basis van instabiliteiten en het plotseling optreden van nieuwe vormen van ordening, die zo kenmerkend zijn voor zelforganiserende systemen.

Iteraties betreffen wiskundig gezien herhaalde vermenigvuldigingen, die zichtbaar worden in onderscheiden stappen en elke stap heet een afbeelding. Simpele logistische afbeeldingen leiden toch tot een rijkdom aan mogelijk ingewikkeldheden en worden bijvoorbeeld door ecologen toegepast in groeivergelijkingen. Men ontwikkelt iteraties van verschillende logistische afbeeldingen en zo ontstaat bijvoorbeeld de bakker-transformatie, vanwege de herhaalde rek- en vouwoperaties, die lijkt op de manier waarop een bakker zijn deeg kneedt.

De bakker-transformatie is een prototype van de non-lineaire, hoogst ingewikkelde en onvoorspelbare processen, die in technische termen als ‘chaos’ bekend staan.

De grondslagen voor de dynamische systeemtheorie, die het mogelijk maakt ordening in de chaos op te sporen, worden rond 1900 door Henri Poincaré gelegd. Hij bracht de wiskunde van de geformaliseerde formules weer in verband met de wiskunde van de visuele beelden en patronen. Zijn visueel georiënteerde wiskunde is geen euclidische meetkunde, maar betreft een nieuw soort meetkunde, die gaat over relaties en patronen, de zogenoemde topologie.

Topologie betreft een wiskunde waarin alle lengtes, hoeken en oppervlakken van topologische equivalenten naar believen kunnen worden vervormd. Zij het, dat bepaalde eigenschappen van meetkundige figuren onveranderbaar blijven tijdens het vervormen van de figuren. Topologie is bijgevolg een echte wiskunde van relaties, van veranderlijke en toch onveranderlijke patronen.

Poincaré paste zijn topologische methode toe op tal van ingewikkelde problemen en legde zo de grondslag van de complexiteitswiskunde, die een eeuw later zou opkomen. Eén van de problemen was het drie-lichamenprobleem uit de hemelmechanica, de relatieve beweging van drie lichamen onder invloed van hun wederzijdse zwaartekrachtseffecten, die nog niemand had kunnen oplossen. Hij kon vaststellen hoe ongelooflijk ingewikkeld deze web-figuur zich ontspon als een soort oneindig dicht geweven net van elkaar snijdende kruisingen. Wat Poincaré voor het eerst in beeld bracht, heet nu een vreemde aantrekker en legde daarmee de basis voor de zogenoemde chaostheorie.

Op basis van Poincarés topologische benadering en met behulp van snelle en krachtige computers kunnen onderzoekers nu geordende patronen in chaotische systemen ontdekken.

Wiskundig gezien moeten alle vergelijkingen analytisch opgelost worden, het resultaat is altijd een formule. Wat betreft non-lineaire vergelijkingen, die natuurverschijnselen beschrijven, zijn analytische oplossingen te moeilijk. Daartoe wordt een numerieke oplossing toegepast, die een vergelijking helpt op te lossen. Het blijft echter ondanks alle technieken en trucjes een uiterst bewerkelijk proces. Krachtige computers met programma’s voor het numeriek oplossen van vergelijkingen kunnen dat nu snel en precies uitvoeren. De oplossingen zijn nu echter anders van aard. Het resultaat is niet een formule, maar een grote verzameling van waarden voor de variabelen die aan de vergelijking voldoen. Een daartoe geprogrammeerde computer kan dat als een reeks van krommen in een grafiek uitzetten.

Om die geordende patronen zichtbaar te maken, worden de variabelen van een ingewikkeld non-lineair systeem uitgezet in de ‘faseruimte’, een abstracte wiskundige ruimte. (Deze techniek werd t.b.v. de thermodynamica ontwikkeld rond de eeuwwisseling, begin 1900.) Aan elke variabele van het systeem wordt een eigen dimensie toegekend in deze abstracte faseruimte. Met behulp van o.a. een cartesiaans coördinatenstelsel kan een tweedimensionale ruimte weergegeven worden waarin de gegeven variabelen een eigen dimensie toekend worden, zoals hoek en snelheid van een slingerbeweging, waarin bepaalde punten corresponderen met de mogelijke bewegingstoestanden van deze slingerbeweging.

Met de variabelen hoek en snelheid, kunnen op de horizontale as de grootste uitslagen en op de verticale as de maximale snelheden, vierledig gepositioneerd worden. De vier punten in de faseruimte vertegenwoordigen op deze wijze de maximale uitslag en maximale snelheid van de slingerbeweging. Uiteindelijk liggen alle toestanden van deze slingerbeweging op een gesloten kromme. Die kromme heet de ‘baan’ van de slinger in de abstracte wiskundige faseruimte.

Hij geeft een volledige abstracte beschrijving van het gedrag van het systeem. De variabelen van het systeem worden afgebeeld in een abstracte ruimte waarin een enkel punt het hele systeem beschrijft. Alle variabelen worden weergegeven door coördinaten die elke een eigen dimensie in de faseruimte hebben. Op deze wijze kunnen, afhankelijk van de gegeven variabelen, meerledige dimensionele ruimten ontstaan.

Afhankelijk van het gedrag dat deze banen beschrijven in een faseruimte werden ze metaforisch drieledig benoemd als een punt-aantrekker, horend bij een stabiel systeem, een periodieke-aantrekker, die een gesloten kromme vormt met periodieke schommelingen en een vreemde-aantrekker, die overeenkomt met chaotische systemen. Er zijn dus tot op heden slechts drie basistypen van aantrekkers.

Met name vreemde aantrekkers laten een ingewikkeld maar hoog georganiseerd patroon zien. Ondanks de schijnbaar grillige bewegingen, zijn de punten in de faseruimte niet willekeurig verdeeld. Een non-lineair chaotisch systeem herhaalt zichzelf nooit, zodat elke cyclus een nieuw gebied in de faseruimte beslaat. Bij gevolg vormen alle cycli een ingewikkeld maar hoog georganiseerd patroon. Ondanks een veel-dimensionale ruimte, hebben ze doorgaans een lage dimensionaliteit, hetgeen een hoge mate van orde weerspiegelt.

In een non-lineaire werkelijkheid hebben we dus niet zozeer te maken met pure willekeur, maar eerder met een ordende ‘chaos’ die zich organiseert tot een geordend patroon. Schijnbaar willekeurige gegevens verwerkelijken zich tot duidelijk herkenbare vormen. Kenmerkend evenwel voor een chaotisch systeem is het gegeven, dat ze uiterst gevoelig blijft voor verschillen in de aanvangsvoorwaarden.

Kleine veranderingen leiden in de loop van de tijd tot grote gevolgen; in de chaostheorie benoemd als het vlindereffect, begin jaren 6o ontdekt door Edward Lorenz. Uit twee vrijwel identieke begintoestanden, kunnen zich tegengestelde ontwikkelingen ontvouwen, zodat ondanks de deterministische bewegingsverschijnselen, lange-termijn voorspellingen onmogelijk worden. Elk natuurlijk systeem zonder periodiek gedrag blijkt onvoorspelbaar te zijn.

Een eenvoudig stelsel van non-lineaire vergelijkingen blijkt buitengewoon ingewikkeld gedrag te kunnen vertonen. En omgekeerd blijkt dat een buitengewoon complexe non-lineaire werkelijkheid herleid te kunnen worden tot een simplex grondpatroon, die de kwalitatieve eigenschappen van het systeemgedrag in beeld brengen. Het gaat dan niet meer om de precieze waarden van de variabelen op een bepaald tijdstip.

Kenmerkend voor systeemdenken in het algemeen wordt dus de verschuiving van kwantiteit naar kwaliteit. Waar de traditionele wiskunde zich nog richt op kwantiteiten en formules, daar richt de dynamische systeemtheorie zich op kwaliteiten en patronen. De analyse van non-lineaire systemen betreft dan een kwalitatieve analyse, die evenwel nog berust op een kwantitatieve wijze van werken uitgezet in een abstracte kwantitatieve faseruimte met de diverse topologische eigenschapen van hun aantrekkers.

Bij elke aantrekker hoort een aantrekkingsgebied in de faseruimte, waarvoor geldt dat alle banen die daar beginnen, vroeg of laat tot dezelfde trekker leiden. De faseruimte van een non-lineair systeem is verdeeld in verschillende aantrekkingsgebieden, die elk hun eigen aantrekker omvatten. Het geheel resulteert in een dynamisch beeld van het gehele systeem, dat het ‘faseportret’ genoemd wordt.

Stephen Smale verfijnde de wiskundige methode om faseportretten te analyseren. Zo onderscheidde hij structureel stabiele en structureel instabiele faseportretten. De kritische instabiliteitspunten heten vertakkingspunten, daar waar het systeem topologisch gezien een nieuwe richting inslaat. Vertakkingspunten markeren wiskundig gezien, plotselinge veranderingen in het faseportret van het systeem, precies daar waar een nieuwe vorm van orde opduikt. Prigogine toonde aan dat zulke abrupte veranderingen alleen kunnen optreden in open systemen, die zich ver van hun evenwichtstoestand bevinden. Ook hier zijn er relatief maar een aantal vertakkingspunten, ook wel elementaire catastrofes genaamd (R.Thom).

De verschuiving van kwantiteit naar kwaliteit, ontwikkelt zich stapsgewijs na en naast elkaar: een non-lineair systeem, een dynamisch systeem, een chaotisch systeem, een fractaal systeem. De laatste betreft een nieuw soort wiskunde die Benoït Mandelbrot bedacht en ontwikkelde in de jaren eind 1950, 60 en midden 70. Hij onderzocht de grote verscheidenheid aan natuurverschijnselen op hun meetkundige eigenschappen. Met name trachtte hij de frappante overeenkomsten wiskundig te beschrijven en te analyseren. Dat mondde uit in zijn boek ‘De fractale aard van de natuur’.

De meetkunde van fractalen is een ‘taal’ om heel ingewikkelde onregelmatige natuurverschijnselen wiskundig te beschrijven. De meest opvallende eigenschap van deze fractale vormen is dat hun kenmerkende patroon bij steeds verdere vergroting zich steeds herhaalt, zodat hun delen, op elke schaal, steeds dezelfde vorm als het geheel hebben. Hij spreekt in deze van ‘zelfgelijkvormigheid’. Op alle schaalniveaus is de vorm hetzelfde. Er zijn zeer veel voorbeelden van zelfgelijkvormigheid in de natuur te vinden, die wiskundig zijn te beschrijven in een nieuwe taal.

Pas na het uitbrengen van zijn boek werd hij en zijn collega’s zich bewust dat vreemde aantrekkers prachtige voorbeelden van fractalen vormen. Als delen van hun structuur worden vergroot, blijken die een meerledige structuur te vertonen waarin hetzelfde patroon zich keer op keer herhaalt. Vreemde aantrekkers vormen dus een fractale geometrie.

In deze gaat het dus niet om de kwantitatieve voorspelbare aspecten van een lineaire werkelijkheid maar om de kwalitatieve voorspelbare aspecten van het gedrag van het systeem in een non-lineaire werkelijkheid. De lengte en het oppervlak van een fractaal valt niet te berekenen, wel kan de mate van grilligheid op een kwalitatieve manier vastgelegd worden door een getal te definiëren tussen 1 (lijn) en 2 (vlak) en 3 (bol). Van dit getal wordt aangetoond dat het bepaalde eigenschappen van een dimensie vertoont en Mandelbrot benoemde dat de fractale dimensie. Hoe grilliger het natuurverschijnsel hoe hoger haar fractale dimensie.

Iteratieproces en bakkertransformatie vormen de wiskundige grondslag van vreemde aantrekkers en blijken de cruciale wiskundige eigenschap, die chaostheorie en fractale meetkunde verbinden. Om fractale vormen in de natuur te kunnen modelleren, worden meetkundige figuren geconstrueerd, die precieze zelfgelijkvormigheid vertonen, zoals de ‘Koch-kromme’ of ‘sneeuwvlokkromme’. Zo een bewerking wordt steeds op een steeds kleinere schaal herhaald totdat een grillige sneeuwvlok ontstaat.

Met behulp van computers kunnen eenvoudige meetkundige iteraties duizenden keren op verschillende schalen toegepast worden, totdat er fractale imitaties ontstaan van tal van onderscheiden regelmatige en onregelmatige natuurvormen. Zo ontstonden zeer vele natuurgetrouwe modellen op basis van wiskundige technieken. Het fractale patroon van een wolk blijkt qua zelfgelijkvormigheid zich uit te strekken over zeven orden van grootte. Dat wil zeggen dat de grens van een wolk bij een vergroting van 10 miljoen keer, nog steeds de karakteristieke zelfgelijkvormigheid vertoont.

Zo ontwikkelde Mandelbrot op het hoogtepunt van zijn zoektocht op basis van een zeer eenvoudige iteratieve procedure een zeer ingewikkelde wiskundige structuur: de Mandelbrotverzameling, een onvoorstelbare complexe superfractaal, het belangrijkste visuele symbool van de nieuwe complexiteitswiskunde. Om dat mogelijk te maken, moest Mandelbrot gebruik maken van complexe getallen. Dat betreft een wiskundig begrip met een lange aanloop geschiedenis, die ons terugvoert naar de algebra.

Capra beschouwt het ontdekkingsproces van de complexe getallen als een fascinerend fenomeen in de geschiedenis van de wiskunde. Toen wiskundigen in de middeleeuwen algebraïsche vergelijkingen onderzochten, stuitten zij al op tal van problemen, die niet konden worden opgelost in termen van de getallenverzameling, die zij tot dan toe kenden. Dat leidde ertoe, het getalsbegrip uit te breiden: positieve en negatieve getallen, hele en gebroken getallen, rationele en irrationele getallen. Al deze getallen werden als punten afgebeeld op een enkele, dicht bevolkte, getallenrechte.

Met dit uitgebreide getalsbegrip konden in principe alle algebraïsche vergelijkingen worden opgelost. Behalve als er vierkantswortels van negatieve getallen in voorkwamen. Vierkantswortels uit negatieve getallen werden aanvankelijk als betekenisloos gedacht, dus niet opgeschreven en als ze werden opgeschreven betekenisloos geacht. Descartes benoemde de vierkantswortel uit een negatief getal ‘imaginair’ en achtte ze onoplosbaar. Noch Leibniz noch Leonhard Euler konden dat fenomeen oplossen. Pas Carl Friedrich Gauss kende aan deze onmogelijke mysterieuze imaginaire getallen een objectief bestaan toe. Omdat imaginaire getallen niet op de getallenrechte geplaatst konden worden, plaatste Gauss ze op de verticale as, loodrecht door het nulpunt van de horizontale as. Daarmee verkreeg hij een cartesiaans assenstelsel. In dit stelsel staan alle reële getallen op de reële horizontale as en alle imaginaire getallen op de imaginaire verticale as.

Met dit assenstelsel schiep Gauss niet alleen een onderkomen voor alle reële getallen en alle imaginaire getallen, maar juist ook voor alle mogelijke combinaties tussen deze twee soorten getallen. Deze combinaties heten complexe getallen en deze worden voorgesteld als punten in het complexe vlak, dat gevormd wordt door deze twee assen. Daarmee kan elk punt in het vlak berekend worden met de door Gauss ontwikkelde algebra van de complexe getallen i.r.t. de functies van complexe variabelen. Dit leidde tot een nieuwe tak in de wiskunde: de complexe analyse, met tal van toepassingen in alle wetenschapsgebieden.

Met name Mandelbrot pakte dit eind jaren zeventig van de 20e eeuw op. Fractale vormen kunnen wiskundig worden vorm gegeven door een iteratieve procedure op het complexe vlak. Zo richtte hij zijn aandacht op een bepaalde klasse van wiskundige fractalen, de zogenoemde Julia verzamelingen, die Gaston Julia begin 20e eeuw reeds ontdekte. Julia’s tekeningen waren ruwe weergaven van complexe fractale vormen, echter nog zonder de hulp van een computer. Mandelbrot maakte ze opnieuw middels de krachtigste computer die hij toen kon vinden. De resultaten waren overduidelijk.

De Juliaverzameling is de verzameling van alle waarden van z (z staat voor een complexe variabele), in deze dus alle punten in het complexe vlak, die bij iteratie eindig blijven en of oneindig blijken. Dat komt voort uit de iteratieve procedure door steeds bij het kwadrateren van een complexe variabele een constante, c op te tellen en dat weer te kwadrateren en dat zo voort. De waarde van deze constante wordt dan bepalend voor de vorm van de Juliaverzameling. Daartoe moet de iteratie voor duizenden punten in het complexe vlak worden uitgevoerd tot het moment dat duidelijk wordt of ze tot in het oneindige zullen blijven toenemen, dan wel eindig zullen blijven.

Punten die eindig blijven worden zwart gekleurd en punten die oneindig blijven wit. Op deze wijze verschijnen de eindige Juliaverzamelingen als zwarte vormen, afhankelijk van de ingevoerde variabele constante in de aanvangswaarde van de iteratie. Elke constante c levert een andere Juliaverzameling op, bij gevolg verschijnen een oneindige aantal verschillende verzamelingen en dito vormen. Al of niet aaneensluitend en of uit elkaar vallend in losse vlakken. Deze ongelooflijke verscheidenheid aan vormen blijken overeen te komen met talloze abstracte en concrete vormen in de werkelijkheid.

De echte magie echter begint pas als Mandelbrot een stukje van een Julia verzameling gaat vergroten door meer decimalen van het getal z, het complexe getal, in de berekening te betrekken. Op elke schaal vertonen ze dezelfde rijkdom, waarbij een fantastische opeenvolging zichtbaar wordt van patronen binnen patronen, die allemaal op elkaar lijken zonder ooit echt gelijk te zijn. Mandelbrot probeerde hun enorme verscheidenheid te classificeren door de verschillende wiskundige voorstellingen van de Juliaverzamelingen te analyseren. Hij ontdekte een heel eenvoudige manier om met een enkel beeld in het complexe vlak een complete catalogus van Juliaverzamelingen te maken. Dat beeld heet de Mandelbrotverzameling, het nieuwe symbool van de complexiteitswiskunde.

De Mandelbrotverzameling is de verzameling van alle waarden van de constante c in het complexe vlak waarvoor de bijbehorende Juliaverzameling een aaneengesloten figuur vormt. Het lijkt onmogelijk om voor duizenden waarden van c een Juliaverzameling te berekenen, waarvoor weer steeds duizenden iteraties nodig zijn. Julia zelf introduceerde een krachtige afgeleide stelling, die het aantal stappen drastisch verminderde. Om na te gaan of een Juliaverzameling aaneengesloten is of niet hoef je alleen dat ene punt Z=0 te itereren. Als dat punt eindig blijft is de Juliaverzameling altijd gesloten. Je hoeft dus om de Mandelbrotverzameling te construeren voor elke waarde van c alleen dat ene punt Z=0 te itereren.

Voor de constructie van een Mandelbrotverzameling zijn evenveel stappen nodig als die voor een Juliaverzameling. Echter met dit verschil dat het aantal Juliaverzamelingen oneindig is en de Mandelbrotverzameling uniek. Deze unieke en vreemde figuur betreft echter het ingewikkeldste wiskundige object dat ooit bedacht is. Hoewel de regels voor zijn constructie heel eenvoudig zijn, is de complexiteit ongelooflijk meervoudig. Aanvankelijk verschijnen er twee schijven op het computerscherm, de kleinste is ruwweg cirkelvormig, de grootste lijkt vagelijk op een hart.

De beeldrijkdom die verschijnt bij verdergaande vergroting van de verzameling, op basis van steeds grotere resoluties in de berekeningen, inzoomend op het uitvergrote grensoppervlak, gelijkt op een veelheid van organische vormen in een niet ophoudende herhaling van diverse patronen. Sinds de publicatie van de Mandelbrotverzameling in de Scientific American, 1985, hebben honderden computerfanaten op basis van het daarin gepubliceerde iteratieve programma, hun eigen reis door de Mandelbrotverzameling vorm gegeven.

De patronen die daaruit voortkwamen gelijken zeer wel op de patronen uit de psychedelische kunst van de jaren zestig. Deze werden niet verkregen door computers maar door het innemen van psychedelische geestverruimende drugs die de interne mentale processen bewerkten. In hoeverre interfereren nu de wiskundige fractale patronen met die van de neurologische processen en mentale functies? Is dat toeval of wordt hier iets zichtbaar?

Blijkens en blijkbaar is een ‘grondpatroon’ een pakhuis vol patronen, met oneindige details en eindeloze variaties, gebaseerd op een aantal heel simpele regels. Hier paart eenvoud aan complexiteit. Eenvoudige vergelijkingen kunnen leiden tot uiterst ingewikkelde vreemde aantrekkers en eenvoudige iteratieve regels leiden tot gecompliceerde en complexe visuele patronen. Een simplex kan dus zeer wel in verband gedacht worden met een complexe werkelijkheid. Inzicht in het grondpatroon kan zeer wel helpen de werkelijkheid in kaart te brengen. Dat kan zeer wel wiskundig als systeem dynamisch vorm krijgen, het eerste middels snelle rekenmachines als de computer die begripslogisch gezien beelden visualiseren en het tweede middels de mentale functie van neurologisch aangestuurde hersenfuncties die beeldlogisch gezien begrippen visualiseren. Zou een kruisbestuiving een blik kunnen werpen op deze zelf ordende en zelforganiserende wetmatigheid waarin mentale processen, gelijkende en of gelijke processen in de werkelijkheid aan het licht kunnen brengen? Is er een brug mogelijk tussen het kwantitatieve lineaire domein en het kwalitatieve non-lineaire domein van de werkelijkheid?.